Re: [問卦] 數學大戰誰是支持=-1/12的?

作者 canilogin
看板 Gossiping
時間 2018-12-08 00:55:43
https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1544201746.A.EF7.html
※ 引述《YoRhaA2 (YoRhaA2)》之銘言: : ※ 引述《a1234a123499 (alah)》之銘言: : : 物理哥又回來啦 : : 曲未終,人未散,大家拿起雞排來觀戰 : : 但現在是誰支持1+2+3+……=-1/12他們大戰大多在打私生活有點看不出來到底誰是支持誰是反對,想請教一下 : : 學工程的我也無法接受這個,是物理哥支持-1/12,還是土條支持,請教一下 : 其實也沒有人支持 1+2+3+……=-1/12 啦 : 事情是這樣的: : 大家在學微積分的時候,應該有學過 : 無窮級數和 "1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s ..." : 在 s > 1 的時候收斂;在 s <= 1 的時候發散 s=1的時候,就是著名的調和級數:1+1/2+1/3+1/4+... 這個級數是發散的,國高中的數學程度就能證明,隨便google也都能查到, 套用成物理的例子,直立成疊的撲克牌,一張一張往外推,如果不限牌數, 在不讓撲克牌倒塌的前提下,最遠可推出多長?發散代表可推出無窮遠的長度! 這個分界點特殊在,不僅在實數線上有明顯的特性, 在複數定義域上,也是經解析延拓的zeta函數唯一的不可解析點。 : 而其實呢,在有定義 e^(x+iy) = e^x (cosy+isiny) 之下, ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 這裡感覺省略了些,可能會有板友看不懂, e^(x+iy) = (e^x)乘(cosy+isiny) 這也代表,任何複數都能寫成e的複指數相量形式。 簡單來說就是,複數的實數次方直接相乘就好, 比方說(x+iy)^2就是(x+iy)乘(x+iy), 而實數的複數次方,比如說2^(x+iy),可寫成e^ln{2^(x+iy)}=e^{(x+iy)(ln2)}, 其他同一般實數的指數對數運算,再套用上面那個歐拉公式去算, 複數的複數次方稍複雜,此處略過不提。 : 也就是有定義複數指數的話, : "1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s ..." 對於任何實部大於1的複數s會收斂 : 所以我們可以定義一個函數 f : f(s) = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s ... for all Re(s) > 1. : 至於 s 實部小於or等於1的時候,就不在這個 f 定義域裡面了。 : 不過後來有一個 zeta funtion,定義域比f更廣, : 而且 zeta(s) = f(s) for all Re(s) > 1, : 也就是在f的定義域之內,zeta 和 f 的函數值都是一樣的 如果用比較簡單的實數函數來舉例,比如: 1+x+x^2+x^3+x^4+...=1/(1-x) 在∣x∣<1的時候,等式成立, 但在其他∣x∣>1的時候,只有右邊式子有值,左邊無窮級數則是發散的。 那麼定義域較廣的函數1/(1-x)可稱為f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...的一種延拓, 兩個函數在定義域∣x∣<1的區間內,表現是一模一樣的。 : 除此之外, zeta(-1) = -1/12 : 但從來沒有人說過 zeta(-1) 等於 f(-1) : 因為 f 根本就沒有定義 s<=1 時候的值 : 至於那些整天大喊 "1+2+3+4+5....... = -1/12" 的 ... 你們懂的 zeta函數在複數域的解析延拓,其特殊的地方是, 經延拓之後的可解析函數是唯一的,並不是可以隨便任意延伸的, 這牽涉到複數函數可解析的微分條件,所以有特定的規則與可推測性。 其實複數域就類似實數線的一種延拓,比如我們在解代數方程時: "x^2+x+2=0" 沒有實數解,代公式可輕易得知, 引入複數後,則有成對的共軛複數解,代數基本定理也因此成立。 這樣的延拓可能讓計算或證明變得更簡單,或是能產生更多的思路, 像"1+2+3+4+...= -1/12"這樣的結果,其實是先由歐拉以不嚴謹的方式導出, 還有其他像"1^2+2^2+3^2+4^2+...=0","1^3+2^3+3^3+4^3+...=1/120", 奇妙的是,這些與經過嚴謹的解析延拓後,所計算出的zeta函數值是一樣的! 這說明在牽涉到無限的無窮級數的世界,有許多令人驚奇的數學奧秘存在。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 175.182.103.78 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1544201746.A.EF7.html
1Fmr955258: 恩恩 阿所以到底明天有沒有PK啦 12/08 00:58
2Fhyuchi0202: 我是來玩遊戲 不是來算數學的 12/08 00:59
3Fcanilogin: 我也不是很清楚他們是在pk什麼.....我猜啦,可能跟當初 12/08 01:09
4Fcanilogin: 有人說質數定理沒辦法不經由複數的理念證明出來,但在質 12/08 01:10
5Fcanilogin: 數定理的複數形式證明出現之後,後來好像也有不經由複數 12/08 01:12
6Fcanilogin: 觀念的證明出現,可能類似這樣吧... 12/08 01:13
7Fqaed: 來八卦來討論數學,你是不是誤會了些什麼 12/08 01:17
8FDCHC: 調和級數的幾何意義是原子論討論的堆疊,不能以撲克牌為例。 12/08 10:50
9Fcanilogin: 撲克牌的例子請參閱質數魔力這本科普書籍... 12/08 11:39
10FDCHC: 大部分的科普書籍是錯的,錯在崇拜科學,把數字當成真理。 12/08 13:39
11FDCHC: 數學應該遵守(服從)一個基本規定,計算式必須有幾何意義。 12/08 13:39
12FDCHC: 幾何意義是說:描述基本粒子的物理現象。 12/08 13:40